前置知识

前置知识：极限

我们要求 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$。

右边我们都知道是什么意思，那左边是什么呢？

意思就是，当 $x$ 无限接近 $1$ 时，右边的那一坨东西是什么。

$x$ 无限接近 $1$ 是什么意思？管他呢，我们先直接代入 $x=1$ 求一下呗，然后求出来一个非常谔谔的 $\frac{0}{0}$。

然而当我们画出这个函数的图像后：

这不就是一个 $x+1$ 吗？太 easy 了，通过 瞪眼法 直觉可知，答案是 $2$。

有个东东叫做：验算。

阿哲，难道答案就是“未定义”吗？

当你重新回去审视题面，你发现了被你直接遗忘掉的 $\underset{x\to 1}{\lim }$。

也就是，漏掉了一句，当 $x$ 无限接近 $1$ 的时候，意味着 $x$ 可以不是 $1$，也可以是 $1+10^{-114514}$ 等。

1. 当 $x$ 取 $2$ 时，原函数的值为 $3$。

2. 当 $x$ 取 $1.5$ 时，原函数的值为 $2.5$。

3. 当 $x$ 取 $1+10^{-114514}$ 时，原函数的值为 $2+10^{-114514}$。

4. 当 $x$ 取 $1-10^{-114514}$ 时，原函数的值为 $2-10^{-114514}$。

其中，第三条和第四条的 $x$ 都非常接近 $1$，而这四条的值都越来越接近 $2$。

综上，答案是 $2$。

相信通过这个例子都已经可以理解极限到底是个啥东东了，放一波百度百科对于极限的描述：

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值 $A$ 不断地逼近而“永远不能够重合到 $A$”（“永远不能够等于 $A$，但是取等于 $A$‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近 $A$ 点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值 $A$ 叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

update：一点小小的补充

有一写特别的函数，其在某一点处的值存在然而极限不存在。

极限的严格定义是，左极限和右极限相等才算有。

而左极限就是从左边无限逼近，右极限就是从右边无限逼近。

比如这个经典的分段函数：

注意上面是当 $x\ge 0$ 时取的 $x+1$，而下面是 $x<0$，所以当 $x=0$ 时有定义，是 $1$。

而 $x=0$ 时的左极限是 $-1$，你从左边无限逼近就是 $-1$，右极限是 $1$，左右极限并不相等，所以极限不存在，但是值存在（为 $1$）。

前置知识：导数

其实就是斜率。

但是，测量斜率要有一条直线，也就是两个点。

比如，我们要测量下图中直线 $g_1$ 和 $g_2$ 的斜率：

根据斜率公式，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 也就是 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，可以求出直线 $g_1$ 的斜率为 $\frac{4-1}{2-1}=3$，$g_2$ 的斜率是 $\frac{9-1}{3-1}=4$。

那么，如果我们只有一个在一个函数图像上的点，我们应该如何求出斜率呢？

有人说，你这样不行啊！一个点怎么可能可以求斜率呢？

update：对，你说的没错，一个点不能求斜率，这里的斜率实际上指的是过这个点的函数图像的 切线 的斜率。

但是，我们可以取一个在这个函数的图像上，和这个点非常相近的点，比如要求斜率的点是在 $f(x)=x^2$ 上的 $x=1$ 点，那么我们可以取一个 $x=1.01$ 点，这样求出来的斜率是：
$$\begin{array}{rl}\frac{f(1.01)-f(1)}{1.01-1}& =\frac{1.01^2-1^2}{0.01}\\ & =\frac{0.0201}{0.01}\\ & =2.01\end{array}$$

那么如果我们取的第二个点就是原来的点呢？

$$\frac{f(1)-f(1)}{1-1}=\frac{0}{0}$$

分母变成 $0$ 了！

当然，我们可以再写一个函数，设 $g(x)$ 为“与 $1$ 相邻的那个点”选择 $x$ 时算出来的斜率。

我们可以直接通过斜率公式求得：

$$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

看上去没什么用，但是如果你学了多项式除法，或者学了一点点小学奥数，那么就会知道 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，原式就相当于 $x+1$。

然后我们就发现，当 $x=1$ 时可以求 $g(x)$ 了！求出来就是 $1+1=2$。所以在 $f(x)=x^2$ 函数上的 $x=1$ 点的斜率就是 $2$。

然后，我们就可以扩大一下 $g(x)$，使其变成 $g(x,y)$，意思是“与 $y$ 相邻的那个点”选择 $x$ 时算出来的斜率。

$$g(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x-y}$$

（上面的 $g$ 函数只是 $y=1$ 时的特化）

一样的道理，$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，那么 $g(x,y)$ 就相当于 $x+y$，然后我们一样就发现 $g(y,y)$ 也能求出来了，就相当于 $y+y=2y$。

既然 $g(y,y)$ 也可以求出来了，那肯定就是最精确的。那我们干嘛还去求其他的呢？所以我们再用一个函数 $f^{\prime }(x)$ 来代表在 $f(x)$ 上 $x$ 点的斜率，同时可以轻松得到，$f^{\prime }(x)=g(x,x)=2x$。

我们就称 $f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，其意义就是 $f(x)$ 的图像上 $x$ 点的斜率。

最后放一波百度百科对于导数的描述：

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 在一点 $x_0$ 上产生一个增量 $\Delta x$ 时，函数输出值的增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 的比值在 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时的极限 $a$ 如果存在，$a$ 即为在 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$ 或 $\frac{df(x_0)}{dx}$。

当然，除了上面两种，极限还有第三种表达方式：$\frac{d}{dx}f(x_0)$。

需要注意的是，$\frac{d}{dx}$ 并不能约分变成 $\frac{1}{x}$，$d$ 是一个非常特殊的量，叫做无穷小，如果不理解可以在前面加上 $\underset{d\to 0}{\lim }$，当然我们现在并不需要理解它的意思。

嗯，其实导数还有另外一种定义：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

我们来解析一下：

$f^{\prime }(x)$ 代表导数。

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }$ 代表 $\Delta x$，也就是 $x$ 的增量尽量小。

$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 下面的 $\Delta x$ 可以变成 $(x+\Delta x)-x$ 可能会更好理解，你会发现其实还是在求斜率。

其实意思就是：选一个与 $x$ 尽量靠近（靠近到不能在靠近）的数字，对其求值作为另一个点，对于原来的 $x$ 点和选取的与 $x$ 尽量靠近做的直线的点求斜率。

前置知识：原函数

反导数，一个函数 $f$ 的原函数通常记作 $F$，满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

积分

这是一个标准的正弦函数：

它很简单（并不），这时，几何老师来了：

『求阴影部分面积。』（蓝色是正的，红色是负的。）

其实可以这样求，把阴影部分看做是若干个长方形的面积之和。

比如：

这样显然不太精确，可以这样：

还可以这样：

甚至这样：

显然，最后一张图已经基本上是正确答案了，肉眼看不出区别。

戳这里，滑动 $k$ 来查看各种精确度的结果。

如果我们用数学方法求呢？

那就是：

$$\underset{\mathrm{d}x\to 0}{\lim }\sum _{i=\frac{0}{\mathrm{d}x}}^{\frac{(\frac{3\pi }{2})}{\mathrm{d}x}}\sin (\mathrm{d}xi)\mathrm{d}x$$

但是，这种 $ \lim\limits_{\mathrm dx \to 0} \sum \limits_{i={a \over \mathrm dx}}^{b \over \mathrm dx} f(\mathrm dxi)\mathrm dx $ 形式的式子在微积分里面太常见了，所以简记做 $ \int _a^b f(x)\mathrm dx $。

换句话说，我们要求 ${\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\sin (x)\mathrm{d}x$。

特别厉害的注意力

我们要求 $ \int _a^b f’(x)\mathrm dx $。

而 $f^{\prime }(x)$ 就是 $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$。

然而这里 $\Delta x$ 和 $\mathrm{d}x$ 都是趋近于 $0$ 的，可以合并在一起。

那么原式就是：

$${\int }_a^b\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$$

也就是：

$${\int }_a^{b}f(x+\mathrm{d}x)-f(x)$$

我们发现这是一个差分的前缀和，所答案就是：

$$f(b)-f(a)$$

综上：

$${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a)$$

也就是：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

恭喜你，你发现了微积分基本定理，也就是牛顿 - 莱布尼茨公式！

这样，我们就能解这道题了。

$ \sin x $ 的原函数是 $-\cos x$，所以答案就是 $(-\cos \frac{3\pi }{2})-(-\cos 0)=0-(-1)=1$。

这就是求定积分的简单方法：微积分基本定理，但是前提是这个函数你能求出它的原函数。

其实计算机对于一般的函数求积分还是分成极小的小块。

比如：

python">>>> from math import *
>>> def f(x):
...     return sin(x)
...
>>> def myint(f, a, b, dx): #对于 f 函数求 a 到 b 的定积分，长方形的宽为 dx
...     sum = 0
...     for i in range(int(a / dx),int(b / dx)):
...             sum += dx * f(i * dx)
...     return sum
>>> myint(f, 0, 3*pi/2, 1/1)
1.8918884196934453
>>> myint(f, 0, 3*pi/2, 1/10)
1.06154102847852
>>> myint(f, 0, 3*pi/2, 1/100)
1.0073806105888143
>>> myint(f, 0, 3*pi/2, 1/1000)
1.0008888969713063
>>> myint(f, 0, 3*pi/2, 1/1000000) #过了许久
1.0000014803845385

看到没，其实还是挺精确的，并且许多微分方程（通俗来就就是求原函数，或者多阶原函数）都是无解的，只能通过计算机模拟。